买了那本经典的偏微分方程的经典教材，读着试试

齐次传输方程

$$u_{t}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{D}u=0 \\ u:\mathbb{R}^n\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}\text{为待解对象}$$

其中:

$$u_{t}=\frac{\partial u}{\partial t} \\ \mathbf{D}u =\mathbf{D}_{\mathbf x}u=(u_{x_{1}}u_{x_{2}},u_{x_{3}}...u_{x_{n}})$$

可以从原方程看出来

u在（1，b）方向上的偏导数为0，即

$$\frac{\partial u}{\partial (1,\mathbf{b})}\equiv0$$

或者说

$$(1,\mathbf{b}) \cdot \nabla u \equiv u_t+\mathbf b \cdot \mathbf{D}u \equiv 0$$ $$\text{令}z(s)=u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s)\quad s\in \mathbb{R} \\ \text{其中}\mathbf{x},\mathbf{b},\text{t是常量参数}\\ \frac{dz}{ds}= \frac{\partial z}{\partial (\mathbf{x}+s\mathbf{b})} \frac{d(\mathbf{x}+s\mathbf{b})}{ds}+ \frac{\partial z}{\partial (t+s)} \\ =\mathbf{D}_{\mathbf{x}}u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s) \cdot \mathbf{b} + \mathbf{D}_{t}u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s) \\ =(1,\mathbf{b}) \cdot \nabla u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s)=0 \\ \text{(最后一个等号来自于恒等式)}$$

到这已经挺明显了

若以u的值为高度轴，u的图像应该是无数条与(1,b,0)平行的直线组成的

不过这一堆直线拼接的方式是否连续或断裂就不清楚了

因为这个偏导为0和原方程是等价信息（可以互推）

现在我们考虑带初值的情况

$$\begin{equation} \begin{cases} u_{t}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{D}u=0, & \text{在}\mathbb{R}^n\times(0,\infty)\text{中} \\ u=g, & \text{在}\mathbb{R}^n\times\{t=0\}\text{中} \end{cases} \end{equation}$$

我们知道
u(x+sb,t+s)对变化的s是定值

$$u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s) \overset{s=-t}{=} u(\mathbf{x}-t\mathbf{b},0)=g(\mathbf{x}-t\mathbf{b}) \\ \text{这一步是为了凑上初值}\\ u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s) \overset{s=0}{=} u(\mathbf{x},t) \overset{\text{来自上一行}}{===} g(\mathbf{x}-t\mathbf{b}) \\ \text{这一步是为了凑上u的原始态}$$

不得不说好神奇这操作

添加了一个变量，最后消去

我们一直把x，t视为参数，现在如果把它视作自由变量

$$u(\mathbf{x},t) = g(\mathbf{x}-t\mathbf{b})$$

就是我们想要的解了

也就是说这个解是否可显性表达，连不连续，光滑不光滑，都取决于初值函数g的性质

非齐次传输方程

$$\begin{equation} \begin{cases} u_{t}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{D}u=f, & \text{在}\mathbb{R}^n\times(0,\infty)\text{中} \\ u=g, & \text{在}\mathbb{R}^n\times\{t=0\}\text{中} \end{cases} \end{equation}$$

我们如法炮制一下

$$u_{t}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{D}u=(1,\mathbf{b}) \cdot \nabla u=f \\ \quad \\ \text{令}z(s)=u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s)\quad s\in \mathbb{R} \\ \text{其中}\mathbf{x},\mathbf{b},\text{t是常量参数}\\ \frac{dz}{ds} =(1,\mathbf{b}) \cdot \nabla u(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s)=f(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s) \\ \text{(f的输入因u的输入变化而产生变化，不是默认自变量了)}$$

现在要利用初值条件，令s=-t

$$z(-t)=u(\mathbf{x}-t\mathbf{b},0)=g(\mathbf{x}-t\mathbf{b})$$

令s=0就能得到u的原型

$$z(0)=u(\mathbf{x},t)$$

于是

$$z(0)-z(-t)=u(\mathbf{x},t)-g(\mathbf{x}-t\mathbf{b})=\int^{0}_{-t}\frac{dz}{ds}ds \\ =\int^{0}_{-t}f(\mathbf{x}+s\mathbf{b},t+s)ds \\ \overset{s \rightarrow s-t}{=}\int^{t}_{0}f(\mathbf{x}+(s-t)\mathbf{b},0)ds$$

可得解为

$$u(\mathbf{x},t)=g(\mathbf{x}-t\mathbf{b})+\int^{t}_{0}f(\mathbf{x}+(s-t)\mathbf{b},0)ds$$

Laplace方程

$$- \Delta u=0$$

其中

$$\Delta u=div(\mathbf{D}u)=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial ^2 u}{\partial x_{i}^2}$$ $$\text{在n+1维空间中，有n维曲面}u(\mathbf{x}) \quad \text{(将非自变量的那个轴称为z轴或高度轴)} \\ \text{在上面找一点}\mathbf{x_0} \\ \text{作n个向量}\mathbf{m_1},\mathbf{m_2}\text{,...}\mathbf{m_n},\text{组成向量组}M_1 \\ \text{要求}M_1\text{内的向量两两垂直，且每个向量与z轴垂直} \\ \text{再任意作一个与}M_1\text{要求相同的向量组}M_2 \\ \text{那么}\\ \sum_{\mathbf{x}\in M1}\frac{\partial ^2 u}{\partial \mathbf{x}^2} \equiv \sum_{\mathbf{x}\in M2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \mathbf{x}^2}$$