从一个简单不等式谈起

平均值不等式

$$\frac{x_1+x_2}{2} \geq \sqrt{x_1x_2} \quad x_1,x_2 \geq 0$$

它的证明很简单

$$(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2\sqrt{x_1x_2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{2} \geq \sqrt{x_1x_2}$$

证毕

多项式定理

在高中我们学过二项式定理，现在拓展一下多项式定理

$$(\sum_{i=1}^{r} x_{i})^n=\sum_{n_1+..+n_r=n} ({n \choose n_1,..,n_r}\prod_{j=1}^{r}x_{j}^{n_{j}})$$