多项式定理

在高中我们学过二项式定理，现在拓展一下多项式定理

$$(\sum_{i=1}^{r} x_{i})^n=\sum_{n_1+..+n_r=n} ({n \choose n_1,..,n_r}\prod_{j=1}^{r}x_{j}^{n_{j}})$$

其中

$$\sum_{n_1+..+n_r=n} 代表在所有使得满足n_1+..+n_r=n的情况下遍历一遍求和$$ $${n \choose n_1,..,n_r}={n \choose n_1}{n-n_1 \choose n_2}{n-n_1-n_2 \choose n_3}...{n-n_1-n_2-...-n_{r-1} \choose n_r}$$ $$=\frac{n!}{(n-n_1)!n_1!}\frac{(n-n_1)!}{(n-n_1-n_2)!n_2!}...\frac{(n-n_1-n_2-...-n_{r-1})!}{0!n_r!}\\ =$$